五分钟学算法之「分治算法」三步走

主要思想

三步走

1. 分解：分解原问题为结构相同的子问题（即寻找子问题）
2. 解决：当分解到容易求解的边界后，进行递归求解
3. 合并：将子问题的解合并成原问题的解

分治算法三步走

归并排序

思想

三步走

1. 分解：将序列划分为两部分
2. 解决：递归地分别对两个子序列进行归并排序
3. 合并：合并排序后的两个子序列

举例

10, 4, 6, 3, 8, 2, 5, 7

序列分解

10, 4 排序合并后：4, 10
6, 3 排序合并后：3, 6
8, 2 排序合并后：2, 8
5, 7 排序合并后：5, 7
……

上部分为「分解」，下部分为「解决」与「合并」

实现

def merge_sort(lst):
    # 从递归中返回长度为1的序列
    if len(lst) <= 1:
        return lst          

    middle = len(lst) / 2
    # 1.分解：通过不断递归，将原始序列拆分成 n 个小序列
    left = merge_sort(lst[:middle])     
    right = merge_sort(lst[middle:])
    # 进行排序与合并
    return merge(left, right)

def merge(left, right):
    i, j = 0, 0
    result = []
    # 2.解决：比较传入的两个子序列，对两个子序列进行排序
    while i < len(left) and j < len(right):  
        if left[i] <= right[j]:
            result.append(left[i])
            i += 1
        else:
            result.append(right[j])
            j += 1
    # 3.合并：将排好序的子序列合并
    result.extend(left[i:])         
    result.extend(right[j:])
    return result

真题演练

为运算表达式设计优先级

LeetCode 241. 为运算表达式设计优先级: https://leetcode-cn.com/problems/different-ways-to-add-parentheses/

题目描述

输入: "2-1-1"
输出: [0, 2]
解释: 
((2-1)-1) = 0 
(2-(1-1)) = 2

输入: "2*3-4*5"
输出: [-34, -14, -10, -10, 10]
解释: 
(2*(3-(4*5))) = -34 
((2*3)-(4*5)) = -14 
((2*(3-4))*5) = -10 
(2*((3-4)*5)) = -10 
(((2*3)-4)*5) = 10

思路

1. 分解：按运算符分成左右两部分，分别求解
2. 解决：实现一个递归函数，输入算式，返回算式解
3. 合并：根据运算符合并左右两部分的解，得出最终解

实现

class Solution:
    def diffWaysToCompute(self, input: str) -> List[int]:
        # 如果只有数字，直接返回
        if input.isdigit():
            return [int(input)]

        res = []
        for i, char in enumerate(input):
            if char in ['+', '-', '*']:
                # 1.分解：遇到运算符，计算左右两侧的结果集
                # 2.解决：diffWaysToCompute 递归函数求出子问题的解
                left = self.diffWaysToCompute(input[:i])
                right = self.diffWaysToCompute(input[i+1:])
                # 3.合并：根据运算符合并子问题的解
                for l in left:
                    for r in right:
                        if char == '+':
                            res.append(l + r)
                        elif char == '-':
                            res.append(l - r)
                        else:
                            res.append(l * r)

        return res

总结

1. 找到子问题并分解
2. 解决子问题（递归）
3. 合并子问题的解

• LeetCode 932. 漂亮数组: https://leetcode-cn.com/problems/beautiful-array

• LeetCode 105. 从前序与中序遍历序列构造二叉树: https://leetcode-cn.com/problems/construct-binary-tree-from-preorder-and-inorder-traversal/

参考资料

• OI Wiki: 递归 – 分治：https://oi-wiki.org/basic/divide-and-conquer/