两分钟看完一道数学思想的算法题

题目描述

给你数字 0 ，1 ，2 ，那么所有排列从小到大就会是 012，021，102，120，201，210，那么如果给你 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 让你去排，从小到大排在第一百万的数是多少？

题目地址：https://projecteuler.net/problem=24

题目解析

写普通算法程序题写多了，见到 排列 首当其冲想到用深度优先搜索，最后发现如果把所有的排列可能都给列出来，然后排序，这样搞下来程序运行的时间复杂度是 O(n!)，比指数的时间复杂度还要高！

如果从数学思路上去思考的话，那问题就简单了！

通过一个数一个数的去选。

首先第一个位置（最高位）有十种可能性，我们可以利用 10! / 10 来计算出每一个数字打头有多少种排列，然后用 一百万 / (10! / 10) 来决定我们要选排在第几的数，选中一个数后，剩下的数就只有 9 个，将 10 换成 9，重复上面的操作，当然，一百万这个值也得根据我们找的数来做更新，比如你第一个数选择了 2，那么 0 和 1 打头的 2 * 10! / 10 种组合都可以减掉，剩下的我们需要继续在后面的 9 个数的排列中找。

代码实现

//@author:P.yh
public static void main(String[] args) {
    System.out.println(lexicographicPermu(10, 1000000L));
}

private static String lexicographicPermu(int numberOfDigit, long target) {
    int copyOfNumerOfDigit = numberOfDigit;
    long copyOfTarget = target;

    // list 里面存放的是所有的可以选择的情况，并从大到小排列
    // 这里是 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9
    List<Integer> candidate = new ArrayList<>();
    for (int i = 0; i < copyOfNumerOfDigit; ++i) {
        candidate.add(i);
    }

    String result = "";

    // 只要没有选完，就继续选择
    while (copyOfNumerOfDigit != 0) {
        long totalPermutation = 1;
        int n = copyOfNumerOfDigit;

        // 计算 n!
        // 例如，选择第一个数，那 totalPermutation 就是 10!
        while (n != 1) {
            totalPermutation *= n;
            n--;
        }

        // 计算选择当前情况下的第几个数
        // 这里 copyOfTarget - 1 是为了防止整除的情况
        // 举 0，1，2 这个例子，当我们要选择排在第 2 的那个数，也就是 021
        // 选第一个数的时候， totalPermutation = 3 * 2 * 1 = 6, copyOfNumberOfDigit = 3
        // 2 / (6 / 3) = 1，显然不符合要求，(2 - 1) / (6 / 3) = 0 才是选中了 0
        int selection = (int)((copyOfTarget - 1) / (totalPermutation / copyOfNumerOfDigit));
        result += candidate.remove(selection);

        // 更新下一次要选择第几个数
        copyOfTarget -= (totalPermutation / copyOfNumerOfDigit) * selection;

        // 选了一个数，可选项相应减少一
        copyOfNumerOfDigit--;
        copyOfTarget = copyOfTarget <= 0 ? 0 : copyOfTarget;
    }

    return result;
}