TwoSum 相关问题思路总结

概述

TwoSum 作为 LeetCode 的第一题存在，想必大家应该对其并不陌生。如果仅仅是看这道题目本身，并不难，思想也特别的简单。

但是关键问题在于，由这个问题演变出来的题目和思路比较多，而且存在着不少的细节问题，今天我们就借着具体的题目和思路来看看 TwoSum 还可以怎么玩？

两种思路

对于 TwoSum 类问题，总的来说有两种大的方向，一种方向是借助 Hash 表，另外一种是借助排序，然后利用相向双指针来解决问题，我们分别来看看：

1、Hash 表的做法

public int[] twoSum(int[] nums, int target) {
    Map<Integer, Integer> remainValues = new HashMap<>();

    for (int i = 0; i < nums.length; ++i) {
        if (remainValues.containsKey(target - nums[i])) {
            int anotherIndex = remainValues.get(target - nums[i]);

            return new int[] {i, anotherIndex};
        }

        remainValues.put(nums[i], i);
    }

    return new int[] {-1, -1};
}

思路很简单，遍历数组，每访问一个元素，先判断其配对的元素是否在 Hash 表中，如果在的话就说明我们找到了答案，将其输出即可，如果没有找到，就将当前的元素放入 Hash 表中，以方便后面的元素来配对。

这里因为题目要求输出元素在数组中的位置，所以用 HashMap 来存储访问过的元素和其对应的 index。

我们再来分析一下其时空复杂度。

• 由于使用了 Hash 表，空间复杂度是 O(n) 的，另外就是最差的情况，数组中的每个元素都要遍历到，因此时间复杂度也是 O(n)。

• 从时间上面来看，这个算法肯定是最优的，这很好理解，你要在数组中寻找配对的答案，数组当中的数肯定都需要看一遍。

2、排序加双指针的思路

public int[] twoSum(int[] n, int t) {
    if (n == null || n.length == 0) {
        return new int[0];
    }

    Arrays.sort(n);

    int[] result = new int[2];

    int l = 0, r = n.length - 1;
    while (l < r) {
        if (n[l] + n[r] == t) {
            result[0] = n[l];
            result[1] = n[r];
            return result;
        } else if (n[l] + n[r] < t) {
            l++;
        } else {
            r--;
        }
    }

    return new int[0];
}

这种思路的前提是题目没有要求我们必须输出元素在数组中的位置，因为排序会改变元素在数组中的位置，这里，我们输出元素本身即可。

这里的思路就是一头一尾两个指针。

• 每次判断的时候，我们将左右两个指针指向的元素加起来的和与我们要找的 target 对比，如果比 target 小，也就是说明如果在左指针不变的情况下，左指针加上左右指针中间的任意一个元素都会比 target 小，这也说明左指针不可能是我们要找的答案，因此向右移动左指针。

• 如果是加起来和我们要找的 target 对比，比 target 大，分析类似，这时需要将右指针向左移动。

我们来看看这里的时间复杂度，因为做了排序这么一个操作，其时间复杂度就会是 O(nlgn) ，对于空间复杂度来说，这里并没有使用额外的空间，因此空间复杂度是常数级的 O(1)。

两种方法都讲完了，如果你有一些编程经验的话，相信这些东西不难理解。

你有没有想过这两种方法分别比较适合什么样的情况呢，基于 TwoSum 问题，思考下面的变化：

• 如果题目要求输出所有可能的答案，该怎么处理？

• 如果题目要求输出所有可能的答案，并且数组中有重复元素该怎么处理？

• 如果题目要求找到比 target 小/大 的配对该怎么处理？

• 如果要找出两数之差等于 target 的配对，该如何进行？

• TwoSum 的解题思路是否可以拓展到 TreeSum 或者更多的配对？

上面的问题可能有些你曾想过，有些没有，那么就让我们带着上述的问题来看看具体的例题，熟练地将上述两种方法应用到实际的题目中去。

变形题目分析

题目描述

题目还是 TwoSum，但是这时需要你返回所有可能的情况（不重复），并且数组中允许重复元素的出现。

题目解析

首先我们需要思考的是，使用之前提到的两种方法中的哪一种会比较好。

是不是两种方法都可以，你分析一下会发现其实两种方法都是可行的，和之前的 TwoSum 不一样的是，这时当找到答案后，需要继续寻找，而不是直接返回。

但是由于数组中存在重复元素，因此两种方法里面都需要考虑去重的机制。

• 对于 Hash 表的方法来说，其实你并不清楚之前是否添加过相同的答案，因此我们考虑使用一个集合去存储答案，保证答案的不重复性；

• 对于排序的方法来说，去重的方式有所不同，排完序后，相同的元素会挨在一起，对于之前考虑过的元素，我们只需要略过就行，指针的移动很好地保证了这一点。

这里就展示排序实现的方法：

代码实现

public List<int[]> twoSum6(int[] nums, int target) {
    if (nums == null || nums.length < 2)
        return 0;

    Arrays.sort(nums);

    List<int[]> results = new ArrayList<>();

    int left = 0, right = nums.length - 1;

    while (left < right) {
        int v = nums[left] + nums[right];
        if (v == target) {
            int[] result = {nums[left], nums[right]};
            results.add(result);
            left++; right--;

            while (left < right && nums[right] == nums[right + 1]) {
                right--;
            }

            while (left < right && nums[left] == nums[left - 1]){
                left++;
            }
        } else if (v > target) {
            right--;
        } else {
            left++;
        }
    }

    return results;
}

题目描述

题目来源于 LeetCode 上第 1099 号问题： 小于 K 的两数之和。

给你一个整数数组 A 和一个整数 K，请在该数组中找出两个元素，使它们的和小于 K 但尽可能地接近 K，返回这两个元素的和。

如不存在这样的两个元素，请返回 -1。

示例 1：

输入：A = [34,23,1,24,75,33,54,8], K = 60
输出：58
解释：
34 和 24 相加得到 58，58 小于 60，满足题意。

示例 2：

输入：A = [10,20,30], K = 15
输出：-1
解释：
我们无法找到和小于 15 的两个元素。

提示：

1. 1 <= A.length <= 100

2. 1 <= A[i] <= 1000

3. 1 <= K <= 2000

题目解析

传统的 TwoSum 都是要你找到等于 target 的配对，那么如果说要找到 大于/小于 target 的配对呢？

这个时候 Hash 表的方法就很难 work 了，因为 Hash 表比较适合处理 等于 的情况 ！

那么就需要考虑如何使用排序加双指针的方法来解决这个问题，这里，题目是要求小于 target 的数量，我们还是按照之前的分析思路来分析。

如果说当前左右指针指向的元素的和大于或者等于 target，那么势必我们需要向左移动右指针，让两个元素的和尽可能地小，当前头尾指针指向的元素和小于 target 的时候，这时我们需要记录答案，虽然这道题目里面没提，如果说要记录配对数量的话，这时并不是记录一个答案，如果说当前左指针固定，除了当前的右指针指向的元素，在左指针和右指针之间的数都是满足要求的，我们只需要加上这个区间的数量即可，当然如果数组中存在重复元素，那么我们就需要按照之前的套路遍历去重了，当然对于这道题来说，我们选择满足条件的最大值即可。

代码实现

public int twoSumLessThanK(int[] A, int K) {
    if (A == null || A.length == 0) {
        return -1;
    }

    Arrays.sort(A);

    int l = 0, r = A.length - 1;
    int result = Integer.MIN_VALUE;

    while (l < r) {
        if (A[l] + A[r] >= K) {
            r--;
        } else {
            result = Math.max(result, A[l] + A[r]);
            l++;
        }
    }

    return result == Integer.MIN_VALUE ? -1 : result;
}

题目描述

题目来源于 LeetCode 上第 170 号问题：两数之和 III – 数据结构设计。

设计并实现一个 TwoSum 的类，使该类需要支持 add 和 find 的操作。

add 操作 –  对内部数据结构增加一个数。
find 操作 – 寻找内部数据结构中是否存在一对整数，使得两数之和与给定的数相等。

示例 1:

add(1); add(3); add(5);
find(4) -> true
find(7) -> false

示例 2:

add(3); add(1); add(2);
find(3) -> true
find(6) -> false

题目解析

题目要求让你实现一个数据结构，这个结构支持 “添加元素” 和 “TwoSum” 两个功能。

这时你需要综合两种方法的优劣性来选择。

首先是 Hash 表的方法，如果使用这个方法，我们不需要考虑太多的东西，元素来了直接扔进数组就行，也就是说 添加元素 操作只需要 O(1) 的时间复杂度就可以完成，但是 TwoSum 的完成需要额外 O(n) 的空间；

再来看看排序的方法，因为这里插入元素我们需要保证元素有序，因此 添加元素 需要 O(n) 的时间，但是这里 TwoSum 操作并不需要额外空间，综合来考虑，因为 添加元素 和 TwoSum 操作都会比较频繁，因此 Hash 表的方法在时间上面更优。

代码实现

private Map<Integer, Integer> elements;
private int MAX_VALUE = Integer.MIN_VALUE;
private int MIN_VALUE = Integer.MAX_VALUE;
/** Initialize your data structure here. */
public TwoSum() {
    elements = new HashMap<>();
}

/** Add the number to an internal data structure.. */
public void add(int number) {
    elements.put(number, elements.getOrDefault(number, 0) + 1);
    MAX_VALUE = Math.max(MAX_VALUE, number);
    MIN_VALUE = Math.min(MIN_VALUE, number);
}

/** Find if there exists any pair of numbers which sum is equal to the value. */
public boolean find(int value) {
    if (value < 2 * MIN_VALUE || value > 2 * MAX_VALUE) {
        return false;
    }

    for (int i : elements.keySet()) {
        if (i * 2 == value && elements.get(i) >= 2) {
            return true;
        } else if (i * 2 != value && elements.containsKey(value - i)) {
            return true;
        }
    }

    return false;
}

题目描述

题目来源于 LeetCode 上第 15 号问题： 三数之和。

给定一个包含 n 个整数的数组 nums，判断 nums 中是否存在三个元素 a，b，c ，使得 a + b + c = 0 ？找出所有满足条件且不重复的三元组。

注意：答案中不可以包含重复的三元组。

例如, 给定数组 nums = [-1, 0, 1, 2, -1, -4]，
满足要求的三元组集合为：
[
  [-1, 0, 1],
  [-1, -1, 2]
]

题目解析

三数之和，Hash 表以及排序的思路都是可行的。

但是这里涉及到去重，这里比较推荐的做法是排序加双指针。

思路其实比较直观，确定一个元素，然后去找另外两个元素，这么一来就把 3Sum 转变成了 2Sum 的问题，这里我两个方法都实现了一下，你可以进行参考。

代码实现

排序加双指针

// sort + two pointers
public List<List<Integer>> threeSum(int[] nums) {
    if (nums == null || nums.length < 3) {
        return new ArrayList<>();
    }

    Arrays.sort(nums);

    List<List<Integer>> results = new ArrayList<>();
    for (int i = 0; i < nums.length - 2; ++i) {
        if ((i != 0) && (nums[i] == nums[i - 1])) {
            continue;
        }

        List<Integer> result = new ArrayList<>();

        twoSum(results, nums, i + 1, -nums[i]);

        result = null;
    }

    return results;
}

private void twoSum(List<List<Integer>> results,
                    int[] nums,
                    int startIndex,
                    int target) {        
    int left = startIndex, right = nums.length - 1;
    while (left < right) {
        if (nums[left] + nums[right] > target) {
            right--;
        } else if (nums[left] + nums[right] < target) {
            left++;
        } else {
            List<Integer> result = new ArrayList<>();

            result.add(-target);
            result.add(nums[left]);
            result.add(nums[right]);

            results.add(result);

            left++; right--;

            while ((left < right) && (nums[left - 1] == nums[left])) {
                left++;
            }

            while ((right > left) && (nums[right + 1] == nums[right])) {
                right--;
            }
        }
    }
}

哈希表

// HashSet
public List<List<Integer>> threeSum(int[] nums) {
    if (nums == null || nums.length < 3) {
        return new ArrayList<>();
    }

    Arrays.sort(nums);

    Set<List<Integer>> resultsSet = new HashSet<>();
    List<List<Integer>> results = new ArrayList<>();

    for (int i = 0; i < nums.length - 2; ++i) {
        if ((i != 0) && (nums[i - 1] == nums[i])) {
            continue;
        }

        Set<Integer> existedValue = new HashSet<>();

        for (int j = i + 1; j < nums.length; ++j) {
            if (!existedValue.contains(nums[j])) {
                existedValue.add(-nums[j] - nums[i]);
            } else {
                List<Integer> result = new ArrayList<>();

                Collections.addAll(result, nums[i], -nums[j] - nums[i], nums[j]);

                resultsSet.add(result);
            }
        }

        existedValue = null;
    }

    results.addAll(resultsSet);

    return results;
}

题目描述

题目来源于 LeetCode 上第 611 号问题：有效三角形的个数。

给定一个包含非负整数的数组，你的任务是统计其中可以组成三角形三条边的三元组个数。

示例 1:

输入: [2,2,3,4]
输出: 3
解释:
有效的组合是: 
2,3,4 (使用第一个 2)
2,3,4 (使用第二个 2)
2,2,3

注意:

• 数组长度不超过1000。

• 数组里整数的范围为 [0, 1000]。

题目解析

题目要求选出三条边，使得这三条边能够构成三角形，咋眼看上去这道题貌似和 TwoSum 没啥关系。

但我们回顾一下中学时期学的东西，三边构成三角形的条件是 任意两边之和大于第三边，那是不是说我们需要把三条边都组合配对考虑一下？其实不用，我们可以得出下面的结论

a < b < c && a + b > c => 三角形

如果已知三条边的大小顺序，那么其实我们只需要比较一次即可。

你再看看这是不是我们熟悉的 TwoSum 变种问题 – 如果题目要求找到比 target 小/大 的配对该怎么处理？

这个时候我们从右往左选定 c ，然后使用 TwoSum 来找出 a 、b 即可，由于题目只要求输出个数，那么就按照之前讲的思路，直接相加即可。

代码实现

public int triangleCount(int[] S) {
    if (S == null || S.length == 0) {
        return 0;
    }

    Arrays.sort(S);

    int result = 0;

    for (int i = S.length - 1; i >= 2; --i) {
        int l = 0, r = i - 1;
        while (l < r) {
            if (S[i] < S[l] + S[r]) {  // S[i] < S[l] + S[r] && S[i] > S[r] > S[l]
                result += r - l;  //  直接加上可能的个数
                r--;
            } else {
                l++;
            }
        }
    }

    return result;
}

题目描述

题目来源于 LeetCode 上第 18 号问题： 四数之和。

给定一个包含 n 个整数的数组 nums 和一个目标值 target，判断 nums 中是否存在四个元素 a，b，c 和 d ，使得 a + b + c + d 的值与 target 相等？找出所有满足条件且不重复的四元组。

注意：

答案中不可以包含重复的四元组。

示例：

给定数组 nums = [1, 0, -1, 0, -2, 2]，和 target = 0。

满足要求的四元组集合为：
[
  [-1,  0, 0, 1],
  [-2, -1, 1, 2],
  [-2,  0, 0, 2]
]

题目分析

4Sum 的思路和 3Sum 的思路是一样的，只不过这时我们需要先将其转换成 3Sum 来处理，其实就是比 3Sum 多了一次选择。

代码实现

public List<List<Integer>> fourSum(int[] nums, int target) {
    if (nums.length < 4) {
        return new ArrayList<>();
    }

    Arrays.sort(nums);

    List<List<Integer>> results = new ArrayList<>();

    for (int i = 0; i < nums.length - 3; ++i) {
        if (i != 0 && nums[i] == nums[i - 1]) {
            continue;
        }

        List<List<Integer>> subResults = threeSum(nums, i + 1, target - nums[i]);

        for (List<Integer> res : subResults) {
            res.add(nums[i]);
            results.add(res);
        }
    }

    return results;
}

private List<List<Integer>> threeSum(int[] nums, int start, int target) {
    List<List<Integer>> results = new ArrayList<>();

    for (int i = start; i < nums.length - 2; ++i) {
        if (i != start && nums[i] == nums[i - 1]) {
            continue;
        }

        List<List<Integer>> res = twoSum(nums, i + 1, target - nums[i]);

        for (List<Integer> r : res) {
            r.add(nums[i]);
            results.add(r);
        }
    }

    return results;
}

private List<List<Integer>> twoSum(int[] nums, int start, int target) {
    List<List<Integer>> results = new ArrayList<>();

    int l = start, r = nums.length - 1;
    while (l < r) {
        if (nums[l] + nums[r] < target) {
            l++;
        } else if (nums[l] + nums[r] > target) {
            r--;
        } else {
            List<Integer> result = new ArrayList<>();
            result.add(nums[l]); result.add(nums[r]);
            results.add(result);

            r--; l++;
            while (l < r && nums[r] == nums[r - 1]) {
                r--;
            }

            while (l < r && nums[l] == nums[l + 1]) {
                l++;
            }
        }
    }

    return results;
}

题目描述

给定一个 target，求出两数之差等于 target 的情况。

题目解析

如果使用 Hash 表的做法，对于传统的 TwoSum，我们找到的答案是满足等式:

num1 + num2 = target

因此这个时候判断的时候，我们只需要判断 target - nums 在不在 Hash 表中即可，对于两数之差的话，我们找到的答案是满足等式：

num1 - num2 = target or num2 - num1 = target

在这种情况下，我们需要判断 target + num 以及 num - target 即可，也就是相比之前，判断条件不同且多了一个。

如果是使用排序加双指针的方法呢？这其实是个打破思路局限的很好例子，这个时候我们需要用到同向双指针了，两个指针均从左向右移动，一前一后，用右边的减去左边的差值来和 target 做比较，如果小了，移动右指针，大了，移动左指针，等于，输出答案。

代码实现

public int[] twoDiff(int[] n, int t) {
    if (n == null || n.length == 0) {
        return new int[0];
    }

    Arrays.sort(n);

    int[] result = new int[2];

    int l = 0, r = 1;
    while (r < n.length) {
        if (l == r) {
            r++;
        }

        if (n[r] - n[l] == t) {
            result[0] = n[l];
            result[1] = n[r];
            return result;
        } else if (n[r] - n[l] < t) {
            r++;
        } else {
            l++;
        }
    }

    return new int[0];
}

总结

TwoSum 相关的问题就分析到这里，非常有趣的一点是，TwoSum 不仅可以扩展成 3Sum，4Sum，它也可以扩展为 KSum， 但是这里就需要用到动态规划的知识了，暂不在这里讨论。希望这次分享的内容对你有所帮助。